Описание
Изображение 
является свёрткой функции объекта 
и мгновенной функции рассеяния точки 
:
где 
– угловые координаты на небе, символ 
означает операцию свёртки.
Функция объекта – это истинное распределение яркости объекта. Функция рассеяния точки – это отклик системы "атмосфера+телескоп" на точечный импульс.
Если атмосфера отсутствует, изображение объекта подвергается искажениям лишь вследствие дифракции на входном зрачке телескопа (и, соответственно, зависит от формы зрачка) и аберраций телескопа.
В идеальном случае без аберраций изображение точечного источника в результате дифракции на круговой апертуре становится неточечным, с угловым радиусом центрального пятна
,
где 
– длина волны, 
– диаметр апертуры телескопа. Вокруг центрального пятна появляются слабые концентрические кольца.
Аналитически, для круговой апертуры функция рассеяния точки характеризуется функцией:
,
где 
– угловая координата с началом в центре пятна,
– функция Бесселя первого порядка.
Нормированная на максимум эта функция выглядит так:
При прохождении света от объекта через атмосферу, он испытывает фазовые задержки, то есть волновой фронт
становится не плоским. В результате, в фокальной плоскости мгновенное изображение объекта представляет собой структуру пятен (спеклов).
При этом характерный размер спекла соответствует размеру дифракционного пятна 
.
Из-за того, что атмосфера постоянно "бурлит", волновой фронт эволюционирует, в каждый последующий момент времени принимая иную форму.
Соответственно и изображение объекта эволюционирует во времени. При достаточно коротких выдержках (< 30 мс) изображение не успевает замазаться и мы видим спекл-картину.
Однако при длинных выдержках картина замазывается и превращается в гладкое изображение без деталей.
Здесь мы моделируем эти процессы при помощи того факта, что телескоп по сути своей производит фурье-преобразование комплексной амплитуды поля на зрачке. Для получения комплексной амплитуды поля на зрачке мы генерируем фазовый экран в рамках Колмогоровской модели турбулентных возмущений. Колмогоровская модель даёт следующее выражение для спектра мощности фазовых искажений:
– пространственные частоты, 
– размеры фазового экрана (в метрах),
– радиус Фрида, символ 
здесь и далее будет означать взятие Фурье-образа.
Далее генерируется 2D-массив случайных чисел с нормальным распределением и умножается на корень Колмогоровского спектра мощности фазовых искажений:
– массив случайных чисел, распределённых по гауссовому закону с
математическим ожиданием 
и дисперсией 
.
По размерам этот массив совпадает с 
.
Взятие действительной части Фурье-образа от этого даёт нам случайный фазовый экран с корректными статистическими свойствами:
– быстрое (обратное) преобразование Фурье, 
означает взятие действительной части,
– координаты в метрах.
Далее, мы исходим из гипотезы Тейлора (замороженной турбулентности), в рамках которой предполагается, что турбулентный слой (или фазовый экран, вносящий фазовые задержки в волновой фронт от объекта) переносится в пространстве без изменений. То есть, сгенерировав фазовый экран, мы моделируем эволюцию его во времени при помощи движения вырезаемого участка по нему. Для лучшего соответствия реальному положению вещей мы генерируем два фазовых экрана, движущихся в перпендикулярных направлениях, и суммируем их.
Функцию зрачка мы можем, к примеру, определить следующим образом:
Теперь зная комплексную амплитуду поля на зрачке и функцию зрачка мы получаем функцию рассеяния точки как квадрат модуля фурье-преобразования произведения этих величин:
,
.
Далее мы производим свёртку функции рассеяния точки с функцией объекта (в пространстве фурье-образов свёртке соответствует простое перемножение):
.
В данной модели не учитывается ширина пропускания фильтра, а также конечная длина экспозиции. В реальных наблюдениях эти факторы приводят к некоторому размазыванию спекл-картины. Кроме того, здесь не учитывается наличие шумов детектора и фотонного шума. Аберрации телескопа приняты равными нулю.
Параметры модели следующие:
- Длина волны: 500 нм
- Количество фазовых экранов: 2
- Скорость движения фазовых экранов: 10 м/c
- Атмосферное качество изображения (FWHM, seeing): 0.8"
- Угловой масштаб: 0.0103"